calcul matriciel
BUT 1 - Semestre 2 - une étoile
systèmes linéaires à 3 équations et 3 inconnues
Vidéos de cours
En s’inspirant de la méthode par combinaison valable pour les systèmes linéaires à 2 équations et 2 inconnues, il est possible de résoudre un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues en utilisant la méthode dite du pivot de Gauss. Deux exemples sont traités ci-dessous en vidéos; le premier exemple met en avant un système admettant un seul triplet solution tandis que le second traite un système possédant une infinité de triplets solutions.
Ce qu'il faut savoir faire
- Résoudre un système linéaire à 2 équations et 2 inconnues en utilisant la méthode par combinaison ou la méthode par substitution
- Résoudre un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues en utilisant la méthode du pivot de Gauss (ou éventuellement la méthode par substitution)
- Interpréter géométriquement les solutions d’un système linéaire en termes de point, droite, plan…
Pour s'entraîner
Une première chose à faire est de reprendre les 2 vidéos de cours et de voir si vous réussissez à résoudre les 2 systèmes proposés. Ensuite, vous pouvez aller faire les devoirs des années précédentes.
matrices
Vidéos de cours
Voici 4 vidéos qui présentent les matrices et les opérations que l’on peut faire sur les matrices.
Ce qu'il faut savoir faire
- Savoir ce que signifient matrice carrée, matrice transposée, matrice symétrique, matrice triangulaire et trace d’une matrice
- Additionner deux matrices et multiplier un réel par une matrice
- Multiplier deux matrices entre elles
- Calculer l’inverse d’une matrice donnée
Pour s'entraîner
Les deux opérations les plus délicates (et les moins naturelles) sont le produit de matrices et l’inverse d’une matrice carrée. Reprenez les exemples des vidéos de cours et vérifiez que vous êtes capables de refaire les calculs proposés sur ces deux opérations.
déterminants d'une matrice
Vidéos de cours
L’épisode 1 ci-dessous explique ce qu’est le déterminant d’une matrice carrée. Puis l’épisode 2 présente une première méthode pour calculer un déterminant, et l’épisode 3 détaille une deuxième méthode. La meilleure méthode pour calculer un déterminant repose sur les 2 méthodes vues aux épisodes 2 et 3, et c’est cette meilleure méthode qui est présentée à l’épisode 4. Autrement dit, il faut avoir vu les épisodes 2 et 3 pour comprendre l’épisode 4…
Ce qu'il faut savoir faire
- Calculer un déterminant de taille 2 en appliquant directement la formule
- Calculer un déterminant de taille 3 en appliquant la méthode de l’épisode 4
Pour s'entraîner
Reprenez les déterminants des vidéos de cours et vérifiez que vous êtes capables de retrouver les mêmes résultats.
diagonalisation d'une matrice
Vidéos de cours
En théorie, avant de commencer à diagonaliser une matrice, il faudrait maîtriser la notion d’espace vectoriel réel. Cette notion étant relativement difficile et abstraite au premier abord, je propose une version light qui tient dans les 2 vidéos ci-dessous et qui permettra d’aborder sereinement la diagonalisation d’une matrice carrée de taille 2 ou de taille 3. En fait, en pratique, la diagonalisation d’une matrice interviendra en GMP pour les matrices d’inertie en Mécanique et pour les matrices des contraintes en Dimensionnement des Structures, et donc la très grande majorité des cas concernera des matrices carrées de taille 2 ou de taille 3.
Toutes les notions qui ont été vues précédemment (systèmes linéaires, matrices, déterminants et géométrie vectorielle) vont s’imbriquer maintenant les unes dans les autres pour décrire la diagonalisation d’une matrice. Deux Playlists présentent cela en détails à travers deux exemples :
Enfin, pour prendre un peu de recul sur la diagonalisation, histoire de savoir quand on peut affirmer qu’une matrice est diagonalisable ou pas, vous pouvez approfondir la question en vous intéressant à la Playlist :
Ce qu'il faut savoir faire
Diagonaliser une matrice carrée de taille 2 ou de taille 3 en suivant rigoureusement les différentes étapes présentées sur les Exemple 1 et Exemple 2
Pour s'entraîner
Reprenez les Exemple 1 et Exemple 2, et vérifiez que vous êtes capables de retrouver les mêmes résultats. Ensuite vous pouvez vous exercer avec les devoirs des années précédentes. Pour rappel, les énoncés et corrigés des devoirs des années précédentes se trouvent à la page de présentation « CALCUL MATRICIEL ».