Études de fonctions

BUT 1 - Semestre 1 - une étoile

Polynômes du second degré

Vidéo de cours

Cette notion-là est un classique incontournable. Selon votre BAC d’origine, l’approche est différente :

Bac général : en ayant suivi la spécialité Maths en classe de Première, vous avez déjà vu le cours. Il s’agit donc de vérifier que vous avez bien retenu ce que vous avez appris. Restez modestes et, si vous pensez que vous n’avez pas besoin de rappels de cours, assurez-vous que vous savez résoudre les 6 inéquations de la vidéo de la rubrique « Pour s’entraîner » présentée plus bas.
Bac technologique STI2D : sachez que les champions qui avaient les pleins pouvoirs pour réformer, en 2021, le Bac STI2D ont eu la grande idée d’enlever du programme la résolution générale des équations du type $$ax^2+bx+c=0.$$ C’est proprement incompréhensible et j’espère que vos enseignants de lycée ont eu la bonne idée d’en faire plus que ce que demandait le programme officiel. Si ce n’est pas le cas, la vidéo ci-dessous est à travailler de toute urgence :

Ce qu'il faut savoir faire

Résoudre (sans calculatrice) une équation de la forme $$ax^2+bx+c=0$$
Résoudre (sans calculatrice) des inéquations du genre $$ax^2+bx+c>0 \quad \quad \textrm{ ou } \quad \quad ax^2+bx+c \leq 0$$
Bien justifier la résolution des inéquations et ne pas laisser croire que vous avez répondu au hasard

Pour s'entraîner

Voici 6 inéquations à résoudre pour se tester sur les polynômes du second degré :

fonctions trigonométriques : cos, sin et tan

Vidéos de cours

Pour commencer, il faut s’assurer de savoir lire sur le cercle trigonométrique le cosinus, le sinus et la tangente d’un nombre. Pour cela, vous pouvez visionner les 3 vidéos suivantes :

Ensuite, il est temps d’étudier les fonctions cosinus, sinus et tangente en faisant la liste de leurs propriétés : parité, périodicité, dérivée, tracé de la courbe…

Ce qu'il faut savoir faire

Savoir lire des informations sur le cercle trigonométrique. Être capable par exemple, et ce sans calculatrice, de sortir les valeurs des cosinus, sinus et tangentes des angles tels que $$0; \quad \frac{\pi}{6}; \quad \frac{\pi}{4}; \quad \frac{\pi}{3}; \quad \frac{\pi}{2}; \quad \pi$$
Donner quelques formules de trigonométrie (voir, si besoin, le formulaire en lien tout en haut de cette page). Parmi les plus incontournables, on peut citer $$(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1 \quad \quad \textrm{ ou } \quad \quad \sin (2x) = 2 \sin (x) \cos (x)$$ ou encore $$\cos (2x) = (\cos x)^2 – (\sin x)^2 = 2 \times (\cos x)^2 – 1 = 1 – 2 \times (\sin x)^2$$
Savoir tracer les courbes représentant les fonctions définies par $$\cos x \quad \textrm{ ou } \quad \sin x \quad \textrm{ ou } \quad \tan x$$ et même savoir s’adapter pour représenter $$\cos (2x) \quad \textrm{ ou } \quad 2 \sin x \quad \textrm{ ou } \quad 3 \cos x + 1 \quad \textrm{ ou } \quad 2 \cos (3x)$$
Dériver et même étudier une fonction faisant intervenir une des fonctions parmi cos, sin et tan
Résoudre des équations et des inéquations trigonométriques : voir, pour cela, la rubrique « Pour s’entraîner » ci-dessous

Pour s'entraîner

Une bonne façon de voir si on est au point sur la trigonométrie est de résoudre des équations trigonométriques et des inéquations trigonométriques.

fonctions exponentielle et logarithme népérien

Vidéos de cours

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont incontournables en GMP. Elles interviennent de façon régulière autour des calculs d’intégrales et des résolutions d’équations différentielles. Si vous avez l’impression de n’avoir fait que survoler ces chapitres au lycée, il est impératif de faire l’effort de s’y replonger. Pour cela, les trois vidéos qui suivent devraient vous aider :

Ces trois vidéos sont vaguement résumées dans cette version courte :

Ce qu'il faut savoir faire

Manipuler les fonctions exponentielle et logarithme népérien
Donner les ensembles de définition de ces deux fonctions
Donner la dérivée des fonctions $$e^x \qquad \textrm{et} \qquad \ln (x)$$
Tracer à la main l’allure des courbes de ces deux fonctions
Connaître la formule fondamentale de l’exponentielle : $$e^{a+b} = e^a \times e^b \qquad \qquad \textrm{pour} \qquad a \in \mathbb{R} \qquad \textrm{et} \qquad b \in \mathbb{R}$$
Connaître la formule fondamentale du logarithme népérien : $$\ln (a \times b) = \ln (a ) + \ln (b) \qquad \qquad \textrm{pour} \qquad a>0 \qquad \textrm{et} \qquad b>0$$

Pour s'entraîner

Les étudiants commettent toujours les mêmes erreurs avec les fonctions exp et ln. Voici un éventail des pièges à éviter et sur lequel il faut être particulièrement vigilant :

étude classique d'une fonction

Vidéos de cours

Le plan d’étude d’une fonction est toujours à peu près le même : ensemble de définition; réduction du domaine d’étude; dérivée première et tableau de variations; dérivée 2nde et convexité; équation de la tangente à la courbe en un point; tracé de la courbe.

Pour travailler spécifiquement certains de ces points, vous pouvez consulter la Playlist suivante :

Ainsi, dans cette Playlist, sont disponibles :

3 vidéos d’exercices pour déterminer un ensemble de définition
4 vidéos sur l’étude de la parité et de la périodicité d’une fonction
2 vidéos d’exemples sur comment réduire le domaine d’étude d’une fonction
1 vidéo sur les fonctions convexes et les fonctions concaves

Ce qu'il faut savoir faire

De façon générale, il faut savoir effectuer l’étude complète d’une fonction sans utiliser la calculatrice. Concrètement, cela sous-entend qu’il faut savoir :

déterminer un ensemble de définition
réduire le domaine d’étude en ayant préalablement étudié la parité et la périodicité de la fonction
calculer la dérivée première
étudier le signe de la dérivée première pour dresser le tableau de variations de la fonction (cela comprend aussi de savoir remplir un tableau de signes)
calculer la dérivée seconde
étudier le signe de la dérivée seconde pour déterminer la convexité de la fonction
déterminer l’équation de la tangente à la courbe en un point donné
tracer la courbe en s’appuyant sur les éléments trouvés aux étapes précédentes (tracé, là encore, à effectuer sans l’aide de la calculatrice)

Pour s'entraîner

Lorsqu’une fonction est définie, l’expression de f(x) fait généralement appel aux fonctions de base telles que polynômes, cosinus/sinus/tangente ainsi que logarithme népérien et exponentielle. C’est pourquoi il est indispensable de bien maîtriser ces fonctions avant d’aller plus loin. Vous trouverez ci-dessous quelques suggestions pour vous auto-évaluer.

D’une part, les devoirs des années précédentes (voir page de présentation « ÉTUDES DE FONCTIONS ») fournissent des exercices d’entraînement intéressants.

D’autre part, les 3 vidéos suivantes permettent aussi de s’exercer :